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高三数学:圆的轨迹问题

   以A为圆心,以2cosθ(<θ<)为半径的圆外有一点B,已知|AB|=2sinθ。设过点B且与圆A外切于点T的圆的圆心为M。
    (Ⅰ)当θ取某个值时,说明点M的轨迹P是什么曲线;
    (Ⅱ)点M是轨迹P上的动点,点N是圆A上的动点,把|MN|的最小值记为f(θ)(不要求证明),求f(θ)的取值范围;
解:
   (Ⅰ)连MT、MA、MB,显然M、T、A三点共线,且|MA|-|MT|=|AT|=2cosθ。又|MT|=|MB|,所以|MA|-|MB|=2cosθ<2sinθ=|AB|。故点M的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2cosθ的双曲线靠近点B的那一支。
     (Ⅱ)f(θ)=|MN|min=|LK|=|LA|-|AK|=sinθ+cosθ-2cosθ=sinθ-cosθ= 。 由 <θ< 知0<f(θ)<1。